Números Complejos
Como los números reales no son suficientes como para dar una solución a toda ecuación cuadrática. Por ejemplo x^2+1 = 0, la cual carece de solución real, ya que el cuadrado de un número real SIEMPRE es positivo o cero; no existe x real que satisfaga x^2 = -1
Fue necesario, entonces, ampliar el concepto de número para incluir a aquellos que si verificaran esta ecuación en particular y para encontrar la solución de todas las ecuaciones polinómica.
La idea fue definir un nuevo número que verificara x^2+1 = 0 ; Tal fue "i" definido, de modo que i^2 = -1. El sistema de números resultantes de adjutar "i" y sus combinaciones al conjunto de los números reales, es el sistema de los números complejos. Cuya definición es la que se ve en el siguiente cuadro:
- A se llama a la parte o componente real de Z y se representa mendiante Re(z)
- B es la parte o componente imaginaria de Z, y se representa por Im(z)
- Es claro que la introducción de i permite resolverlas raíces cuadradas de los números negativos. Así, por ejemplo, i y -i son raíces cuadradas de -1, porque i^2 = -1 y (-i)^2 = -1.
Como también, 2i es una de las raíces cuadradas de -4
- Se puede comprobar, también, que las sucesivas potencias de i se repiten periódicamente en grupos de 4. A partir de esto, es posible calcular cualquier potencia de i.
Esta manera de operar, es general como se muestra en el siguiente teorema:
Demostración:
El número entero
n se expresa, en la división por 4 como: n = 4k+r ; donde r<4, luego el resto de la división puede ser 0, 1, 2, ó 3.
De una forma gráfica esto se puede entender como:
Por lo tanto, queda que
i^n, obtiene su valor dependiendo del resto
r que queda:
El Conjunto de Números Complejos
Se simboliza:
- Todo número real a es un número complejo; porque a = a + 0i. De este modo, los números reales se identifican con una parte de los números complejos por la correspondencia: a <-> a + 0i
- Todos los números de forma bi, llamados imaginarios puros, son complejos de parte real nula: Entonces bi = 0 + bi
Igualdad de Números Complejos
Se dice que los números complejos z1 = a+bi y z2 = c+di son iguales, si y solo si a = c y b = d
Ejemplo:
¿Para cuáles valores reales de x e y se verifica la igualdad: 3x + yi = 5x + 1 + 2i?
Es muy simple, solamente basta con igualar las partes reales: 3x = 5x + 1, despejamos X y nos queda que x = -1/2
Y ahora igualamos las partes imaginarias, la cual queda que y = 2
Entonces para que se verifique la igualdad y=2 y x=-1/2
Operaciones de los Números Complejos
- Observación: Para sumar, restar, o multiplicar los números complejos se opera, considerándolos como efectivos binomios, manipulando i como si se tratara de una variable para la cual i^2 = -1
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- Conjugado: El conjugado de un número complejo z = a + bi; es otro complejo el cual cambia el signo la parte imaginaria.
Propiedades: 
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- División: La noción de conjugado permite hallar de manera práctica el cociente a+bi / c+di, multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
De la cual, al resolver dicha multiplicación, queda:
Ejemplo: Sean z1 = 4 + 1 ; z2 = 2 - 3i 
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- Inverso de un Número Complejo: Dado z = a + bi DIFERENTE de 0, se define z^(-1) = 1/a+bi -Se lee, inverso de z-
Realizando el cociente resulta:
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|z|
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- Se llama raíz cuadrada de un número complejo z=a+bi ; a todo número x que sea solución de x^2 = a + bi. Se indica x = √a+bi y resulta:
Ejemplo:
Hallar Z perteneciente a los Complejos / z^2 = 1 + 4√3i
Sabemos que Z = a+bi
Por lo tanto Z^2 = (a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = 1+4√3i
Formando así un sistema de ecuaciones, en la cual:
1) a^2 - b^2 = 1
2) 2ab = 4√3
También buscamos el módulo de Z
|z^2| = |z|^2 = a^2 + b^2
|1+4√3i| =√ [(1^2)+(4√3)^2] = √1+(16x3) = √49 = 7
Entonces sacamos que: a^2 + b^2 = 7
Agregándolo así a nuestro sistema de ecuaciones:
1) a^2 - b^2 = 1
2) a^2 + b^2 = 7
3) 2ab = 4√3
Ahora sumamos miembro a miembro (1) y (2), la cual nos queda:
2a^2 = 8
a^2 = 4
a= 2 ó a= -2
Sustituimos cualquiera de las dos A encontradas, en la segunda ecuación:
(2 ó -2)^2 + b^2 = 7
4 + b^2 = 7
b^2 = 7-4
b^2 = 3
b = √3 ó b = -√3
Ahora reemplazamos en la 3ra ecuación:
2x(2)x√3 = 4√3
a=2 y b=√3
2x(-2)x-√3 = 4√3
a=-2 y b=-√3
Entonces los Z son:
Z1 = 2 + √3
Z2 = -2 - √3
El Cuerpo de los Números Complejos
- La suma y el producto definidos en C verifican propiedades semejantes a las de la suma y el producto de números reales. Por otra parte, los números reales mantienen C las propiedades formales de la suma y el producto debido a la identificación con un subconjunto de los números complejos.
Propiedades de la Suma y el Producto de Números Complejos
Sean z1, z2, y z3, pertenecientes a los números complejos, entonces:
Cuando un sistema de números, con operaciones definidas en él, satisface las propiedades anteriores recibe el nombre de cuerpo. Podemos hablar, entonces, del cuerpo de los números complejos y también del cuerpo de los números reales.-
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